如图1:AB是⊙O的直径.直线l交⊙O于C.D两点.AE⊥直线l.垂足为E．(1)求证:AC•AD=AB•AE,(2)若将直线l向上平移.交⊙O于C.D.使弦CD与直径AB相交.其他条件不变.请问(1)问的结论是否还成立?若成立.请给出证明.若不成立.请说明理由,(3)若将直线l平移到与⊙O相切时.切点为M.其他条件不变.请你在图3上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．如图1：AB是⊙O的直径，直线l交⊙O于C、D两点，AE⊥直线l，垂足为E．

（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）若将直线l向上平移（如图2），交⊙O于C，D，使弦CD与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请问（1）问的结论是否还成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）若将直线l平移到与⊙O相切时，切点为M，其他条件不变，请你在图3上画出变化后的图形，标出相应字母，试猜想：AM、AB、AE的关系是什么？（只写出关系式，不要求证明）．

分析（1）由圆周角定理的推理可知：∠ADB=90°，从而可得到∠AEC=∠ADB=90°，然后由圆内接四边形的性质可知∠B=∠ACE，从而可证明△ACE∽△ABD；
（2）由（1）可知∠AEC=∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角相等可知：∠ACE=∠B，从而可证明△ACE∽△ABD；
（3）如图3所示：连接OM．由（1）可知∠AEC=∠ADB=90°，然后根据切线的性质可知；∠EMO=90°，根据同角的余角相等可知∠AME=∠OMB，然后根据∠OMB=∠OBM，可知∠AME=∠B，故此△AEM∽△AMB，由相似三角形的性质可证AM²=AB•AE．

解答解：（1）如图1所示：连结BD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AE⊥直线l，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵点A、C、B、D在⊙O上，
∴∠B+∠ACD=180°．
∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ACE=∠B．
∴△ACE∽△ABD．
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$．
∴AC•AD=AB•AE；
（2）AC•AD=AB•AE成立
证明：如图2所示：连结BD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AE⊥直线l，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$．
∴AC•AD=AB•AE；
（3）AM²=AB•AE．
理由：如图3所示：连接OM．

∵AB是圆的直径，
∴∠AMB=90°．
∵AE⊥EM，
∴∠AEM=90°．
∴∠AEM=∠AMB．
∵EM是圆的切线，
∴∠EMO=90°．
∵∠EMA+∠AMO=90°，∠AMO+∠OMB=90°，
∴∠AME=∠OMB．
∵OB=OM，
∴∠OMB=∠OBM．
∴∠AME=∠B．
∴△AEM∽△AMB．
∴$\frac{AE}{AM}=\frac{AM}{AB}$．
∴AM²=AB•AE．

点评本题主要考查的是圆周角定理、切线的性质、相似三角形的性质和判定，根据圆的有关性质证得量三角形有两组角对应相等是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>