Question

如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．
（1）求A′点的坐标；
（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，∠A′OA的度数和旋转角的度数相同，可过A′作x轴的垂线，在构建的直角三角形中可根据OA′的长和∠A′OA的度数求出A′的坐标；
（2）已知了C，A′，A三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①以O为直角顶点，OA=OP=4，而OC=4，那么此时C点和P点重合，因此P点的坐标即为C点的坐标．
②以A为直角顶点，那么P点的坐标必为（4，4）或（4，-4）．可将这两个坐标代入抛物线的解析式中判定其是否在抛物线上即可．
③以P为直角顶点，那么P点在OA的垂直平分线上，且P点的坐标为（2，2）或（2，-2）然后按②的方法进行求解即可．

解答：解：（1）过点A′作A′D垂直于x轴，垂足为D，则四边形OB′A′D为矩形．
在△A′DO中，A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2

3

，
OD=A′B′=AB=2，
∴点A′的坐标为（2，2

3

）；

（2）∵C（0，4）在抛物线上，
∴c=4，
∴y=ax²+bx+4，
∵A（4，0），A′（2，2

3

），在抛物线y=ax²+bx+4上，
∴

16a+4b+4=0 4a+2b+4=2 3

，
解之得

a= 1- 3 2 b=2 3 -3

，
∴所求解析式为y=

1- 3

2

x2+（2

3

-3）x+4；

（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点P（0，4）为满足条件的点．
②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，-4），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上．
③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，-2），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上．
综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、等腰直角三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．