【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根(OA>OC),BE=5,OB=OA.
(1)求点A、点C的坐标;
(2)求直线CD的解析式;
(3)在x轴上是否存在点P,使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似?若存在,请求出点P的坐标;如不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(12,0);C(﹣6,0);(2)y=﹣x+8;(3)存在;P的坐标是(19,0)和(3,0).
【解析】
(1)首先解方程x2-18x+72=0求得方程的根,则A和C的坐标即可求得;
(2)根据三角函数求得B的坐标,作EF⊥x轴于点F,根据△AEF∽△ABO,利用相似三角形的性质求得EF和OF的长,即可求得E的坐标利用待定系数法确定函数关系式;
(3)设P的坐标是(p,0),则PC=p+6.分成△COD∽△CEP和△COD∽△CPE两种情况进行讨论即可求解.
解:(1)x2﹣18x+72=0即(x﹣12)(x﹣6)=0,
则x﹣12=0,x﹣6=0,
解得:x=12或x=6,
又∵OA>OC,
∴OA=12,OC=6,
∴A的坐标是(12,0),C的坐标是(﹣6,0).
(2)∵,
∴,
则B的坐标是(0,16).
作EF⊥x轴于点F.
则△AEF∽△ABO,
∴,
∴
∴AF=9,EF=12,
则OF=12﹣9=3,
则E的坐标是(3,12).
设直线CD的解析式是y=kx+b,则
解得:,
则直线CD的解析式是y=x+8;
(3)设P的坐标是(p,0),则PC=p+6.
当△COD∽△CEP时,,即,
解得:d=19,
则P的坐标是(19,0);
当△COD∽△CPE时,,则,
解得:p=3,
则P的坐标是(3,0)
总之,P的坐标是(19,0)和(3,0).
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【题目】点A为双曲线(x>0)上一点,B为x轴正半轴上一点,线段AB的中点C恰好在双曲线上,则△OAC的面积为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,直线y1=﹣x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;
(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若AB=,E是半圆上一动点,连接AE,AD,DE.
填空:
①当的长度是____________时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是____________时,△ADE是直角三角形.
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A、C在平面直角坐标系的坐标轴上,AB=4,CB=3,点D与点A关于y轴对称,点E、F分别是线段DA、AC上的动点(点E不与A、D重合),且∠CEF=∠ACB,若△EFC为等腰三角形,则点E的坐标为______.
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同,小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x,小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)小红摸出标有数3的小球的概率是多少?.
(2)请你用列表法或画树状图法表示出由x,y确定的点P(x,y)所有可能的结果.
(3)求点P(x,y)在函数y=﹣x+5图象上的概率.
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【题目】如图,在一张长为8cm,宽为6cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上).则剪下的等腰三角形的底边长可以是_____
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表,则下列说法中正确的有_______.(填序号)
x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … |
y | … | -37 | -21 | -9 | -1 | 3 | 3 | … |
①当x>1时,y随x的增大而减小. ②抛物线的对称轴为直线x=-.
③当x=2时,y=-9. ④方程ax2+bx+c=0一个正数解满足1<<2.
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【题目】综合与实践:
如图1,中,,于点,且;如图2,在图1的基础上,动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动,同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动,当其中一点到达终点时另外一点也随之停止运动,设点运动的时间为秒.
(1)求的长;
(2)当的其中一边与平行时(与不重合),求的值;
(3)点在线段上运动的过程中,是否存在以为腰的是等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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