Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，将△ABD沿对角线对折，得到△EBD（点E为点A的对应点），DE与BC交于点F，cos∠ADB=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，则EF=$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 在矩形ABCD中，∠A=90°，设AD=3$\sqrt{13}$x，BD=13x，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{13}$x，求得AD=6，BD=2$\sqrt{13}$，根据折叠的性质得到DE=AD=6，∠ADB=∠EDB，BE=AB=4，推出BF=DF，设EF=m，则BF=DF=6-m，根据勾股定理结论得到结论．

解答 解：在矩形ABCD中，∠A=90°，
∵AB=4，cos∠ADB=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
设AD=3$\sqrt{13}$x，BD=13x，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{13}$x，
∴x=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴AD=6，BD=2$\sqrt{13}$，
∵△ABD沿对角线对折，得到△EBD，
∴DE=AD=6，∠ADB=∠EDB，BE=AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠DBC=∠EDB，
∴BF=DF，
设EF=m，则BF=DF=6-m，
∵BE²+EF²=BF²，
∴4²+m²=（6-m）²，
∴m=$\frac{5}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 此题主要考查了翻折变换，矩形的性质和应用，以及解直角三角形的方法，要熟练掌握．