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    7．已知：抛物线l1：y=-x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，-$\frac{5}{2}$）．
    （1）求抛物线l2的函数表达式；
    （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
    （3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

    分析 （1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；
    （2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；
    （3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．

    解答 解：（1）∵抛物线l1：y=-x2+bx+3的对称轴为x=1，
    ∴-$\frac{b}{-2}$=1，解得b=2，
    ∴抛物线l1的解析式为y=-x2+2x+3，
    令y=0，可得-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
    ∴A点坐标为（-1，0），
    ∵抛物线l2经过点A、E两点，
    ∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x-5），
    又∵抛物线l2交y轴于点D（0，-$\frac{5}{2}$），
    ∴-$\frac{5}{2}$=-5a，解得a=$\frac{1}{2}$，
    ∴y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-5）=$\frac{1}{2}$x2-2x-$\frac{5}{2}$，
    ∴抛物线l2的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x2-2x-$\frac{5}{2}$；
    （2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），
    ∴PC2=12+（y-3）2=y2-6y+10，PA2=[1-（-1）]2+y2=y2+4，
    ∵PC=PA，
    ∴y2-6y+10=y2+4，解得y=1，
    ∴P点坐标为（1，1）；
    （3）由题意可设M（x，$\frac{1}{2}$x2-2x-$\frac{5}{2}$），
    ∵MN∥y轴，
    ∴N（x，-x2+2x+3），$\frac{1}{2}$x2-2x-$\frac{5}{2}$
    令-x2+2x+3=$\frac{1}{2}$x2-2x-$\frac{5}{2}$，可解得x=-1或x=$\frac{11}{3}$，
    ①当-1＜x≤$\frac{11}{3}$时，MN=（-x2+2x+3）-（$\frac{1}{2}$x2-2x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{3}{2}$x2+4x+$\frac{11}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{4}{3}$）2+$\frac{49}{6}$，
    显然-1＜$\frac{4}{3}$≤$\frac{11}{3}$，∴当x=$\frac{4}{3}$时，MN有最大值$\frac{49}{6}$；
    ②当$\frac{11}{3}$＜x≤5时，MN=（$\frac{1}{2}$x2-2x-$\frac{5}{2}$）-（-x2+2x+3）=$\frac{3}{2}$x2-4x-$\frac{11}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{4}{3}$）2-$\frac{49}{6}$，
    显然当x＞$\frac{4}{3}$时，MN随x的增大而增大，
    ∴当x=5时，MN有最大值，$\frac{3}{2}$×（5-$\frac{4}{3}$）2-$\frac{49}{6}$=12；
    综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．

    点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出PA、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中．

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