Question

【题目】如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求M的坐标；
（4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0）代入 得到：0= ×（﹣1）2﹣b﹣2，

解得b=﹣ ，

则该抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2．

又∵y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，

∴顶点D的坐标是（ ，﹣ ）

（2）

解：由（1）知，该抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2．则C（0，﹣2）．

又∵y= x2﹣ x﹣2= （x+1）（x﹣4），

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴AC= ，BC=2 ，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形

（3）

解：由（2）知，B（4，0），C（0，﹣2），

由抛物线的性质可知：点A和B关于对称轴对称，如答图1所示：

∴AM=BM，

∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 ．

∴CM+AM的最小值是2

（4）

解：如答图2，过点P作y轴的平行线交BC于F．

设直线BC的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．

把B（4，0）代入，得

0=4k﹣2，

解得k= ．

故直线BC的解析式为：y= x﹣2．

故设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（m， m﹣2），

∴S△PBC= PFOB= ×（ m﹣2﹣ m2+ m+2）×4=﹣（m﹣2）2+4，即S△PBC=﹣（m﹣2）2+4，

∴当m=2时，△PBC面积的最大值是4．

【解析】（1）把点A的坐标代入函数解析式来求b的值；然后把函数解析式转化为顶点式，即可得到点D的坐标；（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状；（3）根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2 ；（4）过点P作y轴的平行线交BC于F．利用待定系数法求得直线BC的解析式，可求得点F的坐标，设P点的横坐标为m，可得点P的纵坐标，继而可得线段PF的长，然后利用面积和即S△PBC=S△CPF+S△BPF= PF×BO，即可求出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．