Question

【题目】如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　 　．

Answer 1

【答案】．

【解析】

（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．

由题意可知，OM=，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，

∴ ON=．

如答图①所示，

设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，

∴∠OAC=∠B0ABn．

又∵AB0=AOtan30°，ABn=ANtan30°，

∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°．

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°．

∴B0Bn=ONtan30°=．

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）：

如答图②所示，

当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，

∴∠OAP=∠B0ABi．

又∵AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，

∴AB0：AO=ABi：AP．

∴△AB0Bi∽△AOP，

∴∠AB0Bi=∠AOP．

又∵△AB0Bn∽△AON，

∴∠AB0Bn=∠AOP．

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn．

∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．