Question

18．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠BAC=60°
（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求△DAE与△CBE的面积之比．

Answer 1

分析 （1）作∠ABC的平分线即可；
（2）设AB=a，连接CD，根据圆周角定理得∠ABC=∠ADC=90°，∠DAC=∠DBC=45°，再利用含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得BC=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$a，AC=2AB=2a，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$a，然后证明△AED∽△BED，再利用相似三角形的性质求解．

解答 解：（1）如图，BD和AD为所作；

（2）设AB=a，连接CD，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$a，AC=2AB=2a，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠DAC=∠DBC=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$a，
∵∠AED=∠CEB，
∴△AED∽△BED，
∴$\frac{{S}_{△DAE}}{{S}_{△CBE}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=（$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}$）²=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．解决（2）小题的关键是运用相似三角形的性质．