Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保留根号）

Answer 1

解：（1）DF与⊙O相切．
证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF=30°．
∵OB=OD，∠DBO=60°，
∴∠BDO=60°．
∴∠ODF=180°-∠BDO-∠ADF=90°．
∴DF是⊙O的切线．

（2）∵△BOD、△ABC是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC，
∵O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=BD=2，
又∵∠ADF=90°-60°=30°，
∴AF=1．
∴FC=AC-AF=3．
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
在Rt△FHC中，sin∠FCH=，
∴FH=FC•sin60°=．
即FH的长为．
分析：（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．
点评：判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．