Question

如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE的垂直平分线FM交AB的延长线于F，交BC于P，连接EF，交BC于G，求EP：PC的值．

Answer 1

分析：设正方形ABCD的边长是2x，则AD=AB=CD=BC=2x，DE=CE=x，根据勾股定理求出AE，求出AM，证△FMA∽△ADE，得出

AF

AE

=

AM

DE

，求出AF，进一步求出BF，根据勾股定理求出FM，再证△PFB∽△AFM，得出

BP

AM

=

BF

FM

，求出BP=

1

4

x，计算CP，根据勾股定理求出EP，代入EP：PC即可求出答案．

解答：解：设正方形ABCD的边长是2x，则AD=AB=CD=BC=2x，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=x，
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AE=

AD2+DE2

=

5

x，
∵AB∥CD，
∴∠FAE=∠DEA，
∵AE的垂直平分线FM，
∴AM=ME=

1

2

AE=

5

2

x，∠AMF=∠D=90°，
∴△FMA∽△ADE，
∴

AF

AE

=

AM

DE

，
∴AF=

5

2

x，
由勾股定理得：FM=

AF2-AM2

=

5

x，
∴BF=AF-AB=

1

2

x，
∵正方形ABCD，AE的垂直平分线FM，
∴∠FBP=∠FMA=90°，
∵∠PFB=∠AFM，
∴△PFB∽△AFM，
∴

BP

AM

=

BF

FM

，
∴BP=

1

4

x，
∴CP=2x-

1

4

x=

7

4

x，
由勾股定理得：EP=

CP2+CE2

=

65

4

x，
∴EP：PC的值是

65

7

．
答：EP：PC的值是

65

7

．

点评：本题主要考查对正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质求出各线段的长是解此题的关键．题型较好，综合性强．