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已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D点,连接DA并延精英家教网长⊙O1相交于C点,连接BC,过A点作AE∥BC与⊙O相交于E点,与BD相交于F点.
(1)求证:EF•BC=DE•AC;
(2)若AD=3,AC=1,AF=
3
,求EF的长.
分析:(1)连接AB,证明△ACB∽△FED,根据相似三角形的性质,可得EF•BC=DE•AC;
(2)先证出△AFB∽△BAC,利用相似三角形的性质,得
AF
AB
=
AB
BC
,可求出AB的长;连接BE,利用△ACB∽△EBD,利用相似三角形的性质,可得
AB
DE
=
CB
DB
,可求出DE的长,再将所求数据代入EF•BC=DE•AC;便可求出EF的长.
解答:精英家教网(1)证明:连接AB,切线DB另一端为G
∵BD是切线
∴∠ABD=∠ACB,∠CBG=∠CAB
∵∠ABD=∠DEF
∴∠ACB=∠DEF
∵AE∥BC
∴∠CBG=∠AFB
∵∠AFB=∠DFE
∴∠CAB=∠DFE
∴△ABC∽△FDE
BC
DE
=
AC
EF

∴EF•BC=DE•AC;

(2)解:∵CB∥AE,
AD
DC
=
AF
CB

3
4
=
3
CB

∴CB=
4
3
3

∵BD为⊙O1的切线,
∴∠ABD=∠C,
又∵CB∥AE,
∴∠ABC=∠BAF,
∴△AFB∽△BAC,
AF
AB
=
AB
BC

∴AB2=AF•BC=
3
×
4
3
3
=4,
∴AB=2.
又∵DB2=AD•CD,
∴DB=
3×4
=2
3

连接BE,∴△ACB∽△EBD,
AB
DE
=
CB
DB

2
DE
=
4
3
3
2
3

∴DE=3.
∵EF•BC=DE•AC,
∴EF•
4
3
3
=3×1,
∴EF=
3
3
4
点评:本题不仅考查了和圆相关的相似三角形的性质,还考查了切割线定理、圆内接四边形的性质等知识,有一定的难度.
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度.

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(2)求证:AB2=AC•AE.

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