Question

3．如图．在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x、y轴分别相交于A、B两点，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立即以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动．当以PQ为直径的圆M恰好经过点O时，P、Q停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）①经过多少秒P、Q停止运动？
②当t为何值时，圆M与△ABO的一条边相切？
（2）点P从点O向点A运动过程中，
①点M运动路径长为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
②是否存在一个圆心在y轴上的圆N同时经过B、P、Q三个点？如果存在，求出圆心N的坐标．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，当点Q与点B重合时，以PQ为直径的圆M恰好经过点O，求出AB的长即可解决问题．②分三种情形讨论Ⅰ、如图2中，当⊙M与AB相切时．
Ⅱ、如图3中，当⊙M与OA相切时．Ⅲ、如图4中，当⊙M与OB相切时．分别利用相似三角形的性质即可解决问题．
（2）①首先证明点M的运动轨迹是线段EH，求出线段EH的长即可解决问题．②存在一个圆心在y轴上的圆N同时经过B、P、Q三个点．
如图6中，作NM⊥BQ于M，由BN=NQ=NP，NM⊥BQ，推出BM=MQ=$\frac{10-t}{2}$，则BN=NQ=NP=$\frac{5}{8}$（10-t），在Rt△OPN中，根据PN²=ON²+OP²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，当点Q与点B重合时，以PQ为直径的圆M恰好经过点O．

∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（6，0），B（0，8），
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴t=10s时，P、Q停止运动．

②Ⅰ、如图2中，当⊙M与AB相切时．

由△APQ∽△ABO得到，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$，
∴$\frac{6-t}{10}$=$\frac{t}{6}$，
∴t=$\frac{9}{4}$．
Ⅱ、如图3中，当⊙M与OA相切时．

由$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$，得$\frac{t}{10}$=$\frac{6-t}{6}$，解得t=$\frac{15}{4}$．
Ⅲ、如图4中，当⊙M与OB相切时．

∵P（t，0），Q（6-$\frac{3}{5}$t，$\frac{4}{5}$t），
∴M（3+$\frac{1}{5}$t，$\frac{2}{5}$t），
∴2（3+$\frac{1}{5}$t）=$\sqrt{（6-\frac{8}{5}t）^{2}+（\frac{4}{5}t）^{2}}$，
解得t=$\frac{150}{19}$或0（舍弃），
综上所述，t为$\frac{9}{4}$s或$\frac{15}{4}$s或$\frac{150}{19}$s时，圆M与△ABO的一条边相切．

（2）点P从点O向点A运动过程中，
①如图5中，当点P在点O时，点M在点H（3，0）处，当点P在点A时，点M在点E（$\frac{21}{5}$，$\frac{12}{5}$）处．

∵直线EH的解析式为y=2x-6，
∵P（t，0），Q（6-$\frac{3}{5}$t，$\frac{4}{5}$t），
∴M（3+$\frac{1}{5}$t，$\frac{2}{5}$t），
∵x=3+$\frac{1}{5}$t时，y=2（3+$\frac{1}{5}$t）-6=$\frac{2}{5}$t，
∴点M在直线EH上，
∴点M的运动轨迹是线段EH，EH=$\sqrt{（\frac{21}{5}-3）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
∴点M运动路径长为$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
故答案为$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

②存在一个圆心在y轴上的圆N同时经过B、P、Q三个点．
如图6中，作NM⊥BQ于M，

∵BN=NQ=NP，NM⊥BQ，
∴BM=MQ=$\frac{10-t}{2}$，则BN=NQ=NP=$\frac{5}{8}$（10-t），
在Rt△OPN中，∵PN²=ON²+OP²，
∴[$\frac{5}{8}$（10-t）]²=[8-$\frac{5}{8}（10-t）$]²+t²，
解得t=-5+$\sqrt{61}$或-5-$\sqrt{61}$（舍弃），
∴ON=$\frac{5\sqrt{61}-11}{8}$，
∴N（0，$\frac{5\sqrt{61}-11}{8}$）．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、勾股定理、运动轨迹等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第二个问题中①的关键的证明点M的运动轨迹是线段EH，学会构建一次函数解决实际问题，学会利用参数构建方程，属于中考压轴题．