Question

19．如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点O（0，0），A（0，12），B（8，12），C（8，8），D（12，8），E（12，0），若直线l经过点M（5，5）且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，请在备用图中画出该直线，并写出直线l的函数解析式（画出所有可能的图形）

Answer 1

分析 分三种情况进行讨论，根据中心对称图形的性质，分别得到直线l，将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，再运用待定系数法即可得出直线l的解析式．

解答 解：①如图，过O，C作直线OC，则直线OC过点M，即直线OC即为所求，

设直线OC的解析式为y=kx，
把C（8，8）代入，可得k=1，
∴直线OC的解析式为y=x；
②如图，连接矩形ABFO的对角线，连接CDEF的对角线，
过对角线的交点作直线GH，取GH的中点，过该中点以及点M作直线PQ，则PQ即为所求，

∵O（0，0），B（8，12），C（8，8），E（12，0），
∴对角线的交点坐标分别为（4，6），（10，4），
∴直线GH的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{22}{3}$，
∴G（0，$\frac{22}{3}$），H（12，$\frac{10}{3}$），
∴GH的中点为（6，$\frac{16}{3}$），
又∵M（5，5），
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$；
③如图，连接矩形OEDF的对角线，连接ABCF的对角线，
过对角线的交点作直线GH，取GH的中点，过该中点以及点M作直线PQ，则PQ即为所求，

∵O（0，0），A（0，12），C（8，8），D（12，8），
∴对角线的交点坐标分别为（4，10），（6，4），
∴直线GH的解析式为y=-3x+22，
∴G（$\frac{10}{3}$，12），H（$\frac{22}{3}$，0），
∴GH的中点为（$\frac{16}{3}$，6），
又∵M（5，5），
∴直线PQ的解析式为y=3x-10；
综上所述，直线l的函数解析式为y=x或y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$或y=3x-10．

点评 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．解决问题的关键是找出矩形的对称中心．