Question

如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A在旋转过程中形成的

AC

，

AG

与线段CG所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,扇形面积的计算

专题：几何综合题

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明；
（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC和△CGF全等，从而得到S_△FEC=S_△CGF，再根据S_阴影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC-S_扇形FAG列式计算即可得解．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，
∴∠AFB+∠FAB=90°，
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，
∴EC∥FG，
∵AF=CE，AF=FG，
∴EC=FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，
∴BF=BE=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴AF=

AB2+BF2

=

22+12

=

5

，
由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，
∴S_△FEC=S_△CGF，
∴S_阴影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC-S_扇形FAG，
=

90•π•22

360

+

1

2

×2×1+

1

2

×（1+2）×1-

90•π•( 5 )2

360

，
=

5

2

-

π

4

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，扇形的面积计算，综合题，但难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键．