Question

若实数a满足a³+a²-3a+2=

3

a

-

1

a2

-

1

a3

，则a+

1

a

=

2或-3

Answer 1

分析：首先把等式移项a³+a²-3a+2-

3

a

+

1

a2

+

1

a3

=0，然后分组，分别利用立方和公式、完全平方公式、分解因式得到（a+

1

a

）（a+

1

a

+3）（a+

1

a

-2）=0，由此即可求出结果．

解答：解：∵实数a满足a³+a²-3a+2=

3

a

-

1

a2

-

1

a3

，
∴a³+a²-3a+2-

3

a

+

1

a2

+

1

a3

=0，
∴a³+

1

a3

+a²+

1

a2

+2-3（a+

1

a

）=0，
（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

）+（a+

1

a

）²-3（a+

1

a

）=0，
（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

+a+

1

a

-3）=0，
∴（a+

1

a

）[（a+

1

a

）²+（a+

1

a

）-6]=0，
∴（a+

1

a

）（a+

1

a

+3）（a+

1

a

-2）=0，
而a+

1

a

≠0，
∴a+

1

a

+3=0，或a+

1

a

-2=0，
∴a+

1

a

=-3或2．
故答案为：-3或2．

点评：此题主要考查了立方差公式、完全平方公式及利用分组法分解因式，解题的关键通过分组能够分解因式，也利用了整体代值的思想，题目比较难，对于学生的代数变形的能力要求比较高．