Question

14．正方形ABCD，45°的三角板BEF顶点放在B旋转，两边分别交AD、DC于P、Q．
（1）判断PQ，AP，CQ关系，并证明；
（2）判断∠CQB和∠BQP大小关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）延长PA到H，使AH=CQ，连结PQ，先利用“SAS”可判断△ABH≌△CBQ，则BH=BQ，∠HBA=∠QBC，由于∠PBQ=45°，∠ABH+∠ABP=45°，得到∠HBP=∠PBQ，然后再根据“SAS”证明△PBH≌△PBQ，则PH=PQ，即HA+PA=PQ，所以PQ=CQ+AP；
（2）在DN上截取DH=BM，与（1）同理先证明△BCH≌△BAP，得到BH=BP，∠CBH=∠ABP，再利用“SAS”证明∴△PBQ≌△HBQ，得到∠CQB=∠BQP．

解答 （1）解：PQ=CQ+AP；
理由：延长PA到H，使AH=CQ，连结PQ，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠BAD=90°，BC=AB，
在△ABH和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCQ}\\{AH=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CBQ（SAS），
∴BH=BQ，∠HBA=∠QBC，
∵∠PBQ=45°，
∴∠QBC+∠ABP=45°，
∴∠ABH+∠ABP=45°，
∴∠HBP=∠PBQ，
在△PBH和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BQ}\\{∠HBP=∠QBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PBH≌△PBQ（SAS），
∴PH=PQ，即HA+PA=PQ，
∴PQ=CQ+AP；

（2）解：∠CQB=∠BQP．理由如下：
在DC上截取CH=AP，如图（2），
与（1）一样可证明△BCH≌△BAP，
∴BH=BP，∠CBH=∠ABP，
∵∠PBQ=45°，
∴∠PBA+∠ABQ=45°，
∴∠HBC+∠ABQ=45°，
∴∠HBQ=45°，
∴∠PBQ=∠HBQ，
在△PBQ和△HBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=HB}\\{∠PBQ=∠HBQ}\\{BQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△PBQ≌△HBQ（SAS），
∴∠CQB=∠BQP．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．也考查了正方形的性质．