Question

14．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，先依据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠PAC，依据内错角相等两直线平行可证明OC∥PA，结合条件DC⊥PC可得到CD⊥OC；
（2）连结OC、CE，过点O作OF⊥AB，垂足为F．先证明△CDA∽△ECA，从而得到CE=2AC，设AC=x，则CE=2x，在Rt△ACE中，依据勾股定理列出关于x的方程可求得AC的长，同理在Rt△ADC中，可求得AD=4，CD=8，然后证明四边形CDOF为矩形，从而可求得DF=10，由AF=DF-AD可求得AF的长，最后依据垂径定理可求得AB的长．

解答 解：（1）如图1所示：连结OC．

∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC．
∵AC平分∠PAE，
∴∠PAC=∠OAC．
∴∠OCA=∠PAC．
∴OC∥PA．
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC．
∴CD是⊙O的切线．

（2）如图2所示：连结OC、CE，过点O作OF⊥AB，垂足为F．

∵CD为⊙O的切线，
∴∠E=DCA．
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE=90°．
∴∠ACE=∠CDA=90°．
∴△CDA∽△ECA．
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{AD}=2$．
设AC=x，则CE=2x，在Rt△ACe中，由勾股定理得：AE²=AC²+CE²=5x²=400，解得：x=4$\sqrt{5}$．
∴AC=4$\sqrt{5}$．
设AD=a，则CD=2a，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC²=AD²+CD²=5A²=80，解得：a=4．
∴AD=4．
∴CD=8．
∵∠CDF=∠DCO=∠OFD=90°，
∴四边形CDOF为矩形．
∴DF=OC=10，CD=OF=8．
在Rt△OFA中，AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=6．
∴AB=2AF=12．

点评 本题主要考查的是切线的判定，勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．