Question

如图，D是⊙O直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若E是劣弧

BC

上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为9，且cos∠BFA=

3

4

，求△ACF的面积．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

解答：（1）证明：连接BO，
方法一：∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB，
又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法二：∵AB=AO，BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO为等边三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°，
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法三：∵AB=AD=AO
∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA=

BF

AF

=

3

4

，
∴

S△BEF

S△ACF

=（

3

4

）²=

9

16

，
又∵S_△BEF=9
∴S_△ACF=16．

点评：本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．