Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，则下列结论中：
①若抛物线开口向上时，则a＞0．②若对称轴与x轴交于正半轴时，则ab＞0；
③若抛物线与x轴交于A，B 与y轴交于C，△ABC是直角三角形，则ac=-1；
④若抛物线与x轴的两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，则．正确有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：根据二次函数的各项系数的功能和二次函数图象的性质以及给出的条件逐一分析即可．
解答：解：因为当抛物线开口向上时，则a＞0，故①正确；
若对称轴与x轴交于正半轴时，则可得ab异号即ab＜0，故②错误；
若抛物线与x轴交于A，B 与y轴交于C，△ABC是直角三角形，：可设抛物线y=ax²+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，
∴对称轴为y轴，
∴b=0，y=ax²+c，
令x=1，得到y=a+c，
而x=1对应的函数值不一定为0，故a+c不一定为0；
∵OA=OB=OE，
∴方程ax²+bx+c=0的两根为c与-c，
∴ac²+c=0，
∵c≠0，
∴c（ac+1）=0，
∴ac=-1，故③正确；
若抛物线与x轴的两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，有③可知ac=-1，b=0
则．故④正确．
∴正确的个数有3个，
故选C．
点评：本题考查了二次函数的各项系数的功能与系数的关系和二次函数的性质，属于基础题，关键是根据已知条件结合二次函数与系数的关系进行求解．