Question

已知2¹=2，2²=4，2³=8，…．
（1）你能据此推测2⁶⁴的个位数字是多少吗？
（2）根据上面的结论，结合计算，请估计一下（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）的个位数字是多少？

Answer 1

分析：（1）根据2的指数次幂的特点，个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，用64除以4，根据正好能够整除可知2⁶⁴的个位数字与2⁴的个位数字相同；
（2）把算式前面添加（2-1），然后利用平方差公式进行计算可得2⁶⁴-1，再根据（1）的结果计算即可得解．

解答：解：（1）∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2的指数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，
∵64÷4=16，
∴2⁶⁴的个位数字与2⁴的个位数字相同，为6；

（2）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2⁴-1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2⁸-1）（2⁸+1）…（2³²+1），
=2⁶⁴-1，
∵2⁶⁴的个位数字是6，
∴2⁶⁴-1的个位数字5．

点评：本题考查了尾数的特征，主要利用了2的指数次幂的特征，观察出个位数字每4个数字为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．