Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2）．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）若在y轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，请求出点M的坐标；

（3）在x轴上是否存在点N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接写出点N的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）M（0，）；（3）存在点N坐标为：（﹣2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0），理由见解析

【解析】

（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入即可求解；

（2）点B（6，0）关于y轴的对称点B'，∴B'（﹣6，0），连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，即可求解；

（3）分AO＝AN、AO＝ON、AN＝ON三种情况，分别求解即可．

：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，2），B（6，0）代入得： ，解得： ，
∴直线AB的表达式为y=-x+6；
（2）作点B（6，0）关于y轴的对称点B'，
∴B'（-6，0），

连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，
设直线AB'的解析式为y=mx+n，
将A（4，2），B'（-6，0）代入得： ，解得： ，
∴直线AB'的解析式为：y= ，
当x=0时，y=，∴M（0，）；
（3）存在，理由：
设：点N（m，0），点A（4，2），点O（0，0），
则AO2=20，AN2=（m-4）2+4，ON2=m2，
①当AO=AN时，20=（m-4）2+4，
解得：m=8或0（舍去0）；
②当AO=ON时，同理可得：m=±2 ；
③当AN=ON时，同理可得：m=；
故符合条件的点N坐标为：（-2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）．