Question

19．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10$\sqrt{2}$．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是25．

Answer 1

分析 由已知可得到△AFE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．

解答 解：方法一：∵在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∵AB=BC，AC=10$\sqrt{2}$．
∴2AB²=200，
∴AB=BC=10，
设EF=x，则AF=10-x
∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{10-x}{10}$，
∴x=5，
∴EF=5，
∴此正方形的面积为5×5=25．
方法二：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∵四边形BDEF是△ABC的内接正方形，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠C=45°，
∴△AEF也是等腰直角三角形，
∴AF=EF，
设AF=x，则BF=10-x，
∴10-x=x，
∴x=5，
∴此正方形的面积为5×5=25．
故答案为25．

点评 主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．