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作业宝如图,抛物线y1与y2都与x轴交于点O(0,0)和点A,y1的顶点是B(2,-1),y2的顶点是C(2,-3),P是y1上的一个动点,过P作y轴的平行线交y2于点Q,分别过P,Q作x轴的平行线,分别交y1,y2于点P′,Q′,连接P′Q′.
(1)四边形PP′Q′Q 是______形.
(2)求y1与y2关于x的函数关系式.
(3)设P点的横坐标为t(t>2且t≠4),四边形PP′Q′Q的周长为y,试求y与t的函数关系式.
(4)当四边形PP′Q′Q是正方形,请直接写出P点的坐标.

解:(1)∵PP′∥x轴,QQ′∥x轴,
∴四边形PP′Q′Q关于对称轴直线x=2对称,
∵PQ∥y轴,
∴PQ⊥PP′,
∴四边形PP′Q′Q是矩形;

(2)∵y1的顶点是B(2,-1),y2的顶点是C(2,-3),
∴设两函数的解析式分别为y1=a1(x-2)2-1,y2=a2(x-2)2-3,
则a1(0-2)2-1=0,a2(0-2)2-3=0,
解得a1=,a2=
所以,y1=(x-2)2-1,y2=(x-2)2-3;

(3)∵P点的横坐标为t(t>2且t≠4),
∴PQ=|(t-2)2-1-(t-2)2+3|=|2-(t-2)2|=|-t2+2t|,
由抛物线的对称性,PP′=2(t-2)=2t-4,
∴2<t<4时,y=2(2t-4-t2+2t)=-t2+8t-8,
t>4时,y=2(2t-4+t2-2t)=t2-8,
综上所述,y与t的函数关系式为y=

(4)当四边形PP′Q′Q是正方形时,PP′=PQ,
∴2t-4=|-t2+2t|,
∴①2<t<4时,2t-4=-t2+2t,
整理得,t2=8,
解得t1=2,t2=-2(舍去),
此时,y1=(2-2)2-1=2-2
∴点P的坐标为(2,2-2);
②t>4时,2t-4=-(-t2+2t),
整理得,t2-8t+8=0,
解得,t3=4+2,t4=4-2(舍去),
此时,y1=(4+2-2)2-1=2+2
∴点P的坐标为(4+2,2+2),
综上所述,四边形PP′Q′Q是正方形,点P(2,2-2)或(4+2,2+2).
分析:(1)根据二次函数的对称性解答;
(2)设两函数的顶点式解析式分别为y1=a1(x-2)2-1,y2=a2(x-2)2-3,然后把原点坐标代入函数解析式求解即可;
(3)根据两函数解析式表示出PQ,根据对称性求出PP′,然后根据矩形的周长公式列式整理即可得解;
(4)根据邻边相等的矩形是正方形列方程求出t的值,再利用抛物线解析式求解即可.
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了二次函数的对称性,矩形的判定与性质,待定系数法求二次函数解析式,以及邻边相等的矩形是正方形,(4)根据t的取值范围分情况讨论是解题关键,也是本题容易出错的地方.
练习册系列答案
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 如图,抛物线y1=a(x+2)2-3y2=
1
2
(x-3)2+1
交于点A(1,3)过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B、C,则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=
2
3
;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;
其中,结论正确的是
①②④
①②④
(填写序号即可)

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如图,抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+h相交于(3,0)、(0,-3)两点,当y1>y2时,自变量x的取值范围是(  )

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形.
(2)求y1与y2关于x的函数关系式.
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(4)当四边形PP′Q′Q是正方形,请直接写出P点的坐标.

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1
2
(x-3)2+1
交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B、C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=
3
2
;③当x=0时,y2-y1=5;④当y2>y1时,0≤x<1;⑤2AB=3AC.
其中正确结论的编号是
①⑤
①⑤

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