Question

11．已知二次函数y=x²-4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的坐边），与y轴交于点C，顶点为D
（1）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线的一般式，根据配方法可求顶点坐标，然后求出图象与x轴，y轴交点坐标，即可得出A，B，C点的坐标，进而得出△ABC和△ABD的面积，即可求得四边形的面积；
（2）根据ABP的面积是△ABC的面积的3倍，C的纵坐标是3，即可求得P的纵坐标，然后代入抛物线解析式求得横坐标．

解答 解：（1）配方得：y=x²-4x+3=x²-4x+4-1=（x-2）²-1，
故顶点D的坐标是（2，-1），
∵二次函数y=x²-4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C．
∴0=（x-2）²-1，
解得：x=1或3，则图象与x轴交点为：A（1，0），B（3，0），
则图象与y轴交点为：C（0，3），
故△ABC的面积为：S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3．S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
则S_{四边形ACBD}=3+1=4；
（2）∵ABP的面积是△ABC的面积的3倍，C的纵坐标是3．
∴P的纵坐标是9或-9（舍去）．
把y=9代入y=x²-4x+3，得x²-4x+3=9，
解得：x₁=2+$\sqrt{10}$或x₂=2-$\sqrt{10}$．
则P的坐标是（2+$\sqrt{10}$，0）或（2-$\sqrt{10}$，0）．

点评 本题考查了二次函数与x轴、y轴交点的求法，以及顶点坐标的求法，正确求得P的纵坐标是关键．