Question

【题目】二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：

①16a+4b+c＞0：

②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；

③c＝3a；

④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．

其中正确的有_____．（请将正确结论的序号全部填在横线上）

Answer 1

【答案】①④．

【解析】

①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x=-4时，y＜0，即16a-4b+c＜0；②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3，1确定对称轴是：x=-1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，所以y1＜y2；③根据对称轴和x=1时，y=0可得结论；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．

解：①∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，

∴当x＝﹣4时，y＜0，

即16a﹣4b+c＜0；

故①正确，符合题意；

②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，

∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，

∵P（﹣5，y1），Q（，y2），

﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣（﹣1）＝3.5，

由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，

∴则y1＜y2；

故②不正确，不符合题意；

③∵﹣＝﹣1，

∴b＝2a，

当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，

∴3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

故③错误，不符合题意；

④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

当AB＝BC＝4时，

∵BO＝1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＝ ，

与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；

同理当AB＝AC＝4时，

∵AO＝3，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＝，

与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；

同理当AC＝BC时，

在△AOC中，AC2＝9+c2，

在△BOC中，BC2＝c2+1，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．

经解方程组可知有两个b值满足条件．

故④正确，符合题意．

综上所述，正确的结论是①④．

故答案是：①④．