Question

（2013•贵阳模拟）如图1，已知∠EOF，点B、C在射线OF上，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点M，连接OM．
（1）当OM⊥AC时，求证：OA=OC．
（2）如图2，当∠EOF=45°时，且四边形ABCD是边长为a的正方形时，求OM的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）若要证明OA=OC，则可转化为证明OM是AC的垂直平分线即可；
（2）过M作MG⊥OF于G，首先证明四边形AOBD是平行四边形，得到AD=OB，再利用等腰直角三角形的性质得到BG和MG的长，进而利用勾股定理即可求出OM的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM=CM，
∵OM⊥AC，
∴OM是AC的垂直平分线，
∴OA=OC；

（2）过M作MG⊥OF于G，
∵四边形ABCD是边长为a的正方形，
∴AD∥BC，∠DBC=45°，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOB=∠EOF，
∴AO∥DB，
∴四边形AOBD是平行四边形，
∴AD=OB=a，
∵OG=

3

2

a，
∵BC=a，
∴MG=

1

2

a，
∴OM=

MG2+OG2

=

10

2

a．

点评：本题考查了垂直平分线的性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等．