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    我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图象，可由函数y=ax2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离
    		m2+k2
    称为朋友距离．
    由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数y=
    k
    x
    都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．
    如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=
    		12+32
    =
    		10
    ．
    （1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向
     
    ，再向下平移7单位，相应的朋友距离为
     
    ．
    （2）探究二：已知函数y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离．
    （3）探究三：为函数y=
    3x+4
    x+1
    和它的基本函数y=
    1
    x
    ，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．
    分析：（1）把y=2x-5换一种方法拆分，保证最后的常数项为-7，朋友距离等于两次移动距离的平方和的算术平方根；
    （2）基本函数只包括二次项的系数，并且二次项的系数不变；找到新抛物线的顶点坐标即可求得朋友路径，朋友距离等于两次移动距离的平方和的算术平方根；
    （3）把所给函数进行拆分，同理得到朋友路径与距离．
    解答：解：（1）y=2（x+1）-7，
    ∴向左平移1个单位（2分）；
    朋友距离为
    		12+72
    =5
    		2
    （2分）；

    （2）基本函数为y=x2（1分）；
    ∵原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（3，-4），
    ∴朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移4个单位（1分）；
    相应的朋友距离
    		32+42
    =5（1分）；

    （3）函数y=
    3x+4
    x+1
    可化为y=
    1
    x+1
    +3，
    ∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位．相应的朋友距离为
    		12+32
    =
    		10
    ．（3分）
    点评：解决本题的关键是理解所给范例中的朋友函数和朋友距离的概念，并结合其余函数的特点在其余函数中加以运用．
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    、（本题10分）我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图像，可由函数y=ax2的图像  进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”。左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离称为朋友距离。

    由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”。

    如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=.

    1.（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向      ，再向下平移7单位，相应的朋友距离为            。

    2.（2）探究二：已知函数y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离。

    3.（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，

        并求相应的朋友距离。

     

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”。
    如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=.
    【小题1】（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向     ，再向下平移7单位，相应的朋友距离为            。
    【小题2】（2）探究二：已知函数y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离。
    【小题3】（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，
    并求相应的朋友距离。

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    科目：初中数学 来源：2011-2012年浙江省金华市浦江六中上学期九年级月考数学卷 题型：解答题

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    由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”。
    如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=.
    【小题1】（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向     ，再向下平移7单位，相应的朋友距离为            。
    【小题2】（2）探究二：已知函数y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离。
    【小题3】（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，
    并求相应的朋友距离。

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    3.（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，

         并求相应的朋友距离。

     

     

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