Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）若BC=5、AC=12，⊙O的半径为R，求R的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内切圆得出∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，根据正方形的判定即可推出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积得出S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，
∴∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是正方形；

（2）解：BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13，
连接OA、OB、OC、OF，
∵S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，
∴

1

2

AC×BC=

1

2

×AB×OF+

1

2

AC×OE+

1

2

BC×OD，
∴5×12=13R+12R+5R，
∴R=2．
答：R的值是2．

点评：本题主要考查对正方形的判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．