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【题目】如图,RtABC,ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x,以斜边AB上的高所在直线为y,建立直角坐标系,OA2+OB2= 17, 且线段OAOB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.

(1)C点的坐标;

(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过ABE 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.

(3)在抛物线上是否存在点P,使ABPABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】1C(0,2);(2y=.3(0,-2)(3,-2)

【解析】本题是二次函数与圆以及全等三角形相结合的题目,难度较大

1)线段OAOB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-3=0的两个根.根据韦达定理就可以得到关于OAOB的两个式子,再已知OA2+OB2=17,就可以得到一个关于m的方程,从而求出m的值.求出OAOB.根据OC2=OAOB就可以求出C点的坐标;

2)由第一问很容易求出AB的坐标.连接AB的中点,设是M,与E,在直角△OME中,根据勾股定理就可以求出OE的长,得到E点的坐标,利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式;

3E点就是满足条件的点.同时CE关于抛物线的对称轴的对称点也是满足条件的点.

解:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)="0" 的两个根,

∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③

①,②代入③,m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,m=-1m=5.

又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.

m=5,得方程:x2-5x+4=0,解之,x=1x=4.

∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,

Rt△ABC,∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)

(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,

∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为

y=ax2+bx+c,,解之,

所求抛物线关系式为y=.

(3)存在.∵E是抛物线与圆的交点.

∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.

圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.

这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.

E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.

可求得E′(3,-2).

抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)(3,-2)

练习册系列答案
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运输工具

运输费单价/

(元/吨·千米)

冷藏费单价/

(元/吨·小时)

过路费/元

装卸及管理费/元

2

5

200

0

1.8

5

0

1600

注:“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费;“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.

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链条节数(节)

2

3

4

链条长度(cm

   

   

   

2)如果x节链条的总长度是y,求yx之间的关系式;

3)如果一辆某种型号自行车的链条(安装前)由80节这样的链条组成,那么这根链条完成链接(安装到自行车上)后,总长度是多少cm

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该方程一组整数解为则全部整数解可表示为为整数).

因为解得.因为为整数所以0.

所以该方程的正整数解为.

请你参考小明的解题方法完成下面的问题

(1)方程的全部正整数解为______________

(2)方程的全部整数解表示为为整数);

(3)方程的正整数解有多少组? 请说明理由.

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解:∵EFAD,(已知)

∴∠2=      

∵∠1=2,(已知)

∴∠1=      

      ,(   

∴∠AGD+   =180°,(两直线平行,同旁内角互补)

   ,(已知)

∴∠AGD=   (等式性质)

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