Question

如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD．OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若OB=6，OC=8，求MN的长．

Answer 1

（1）证明：∵BA，BC为⊙O的切线，
∴BO平分∠ABC，
同理CO平分∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BOC=90°，
即OB⊥OC；

（2）连接OF，
∵BA，BC为⊙O的切线，
∴BE=BF，BO平分∠ABC，
∴BM⊥EF，
即∠OMF=90°，
同理：∠ONF=90°，
∴四边形ONFM是矩形，
∴MN=OF，
在Rt△OBC中，OB=6，OC=8，BC²=OB²+OC²，
∴BC=10，
∵BC切圆于点F，
∴OF⊥BC，
∴△OFC∽△BOC，
∴=，
∴OF=4.8，
∴MN=4.8．
分析：（1）要证明利OB⊥OC，即转化为证明∠BOC=90°，即可，利用切线长定理和平行线的性质：同旁内角互补即可证明；
（2）连接OF，首先证明四边形ONFM是矩形，利用矩形的对角线相等可得：OF=MN，所以求MN的长，即求出OF的长即可．
点评：本题考查了切线长定理、平行线的性质以及矩形的判定和性质、勾股定理的运用和相似三角形的判定和性质，难度较大，综合性较强．