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如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD.OB与EF相交于点M,OC与FG相交于点N,连接MN.
(1)求证:OB⊥OC;
(2)若OB=6,OC=8,求MN的长.

(1)证明:∵BA,BC为⊙O的切线,
∴BO平分∠ABC,
同理CO平分∠BCD,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBC+∠BCO=90°,
∴∠BOC=90°,
即OB⊥OC;

(2)连接OF,
∵BA,BC为⊙O的切线,
∴BE=BF,BO平分∠ABC,
∴BM⊥EF,
即∠OMF=90°,
同理:∠ONF=90°,
∴四边形ONFM是矩形,
∴MN=OF,
在Rt△OBC中,OB=6,OC=8,BC2=OB2+OC2
∴BC=10,
∵BC切圆于点F,
∴OF⊥BC,
∴△OFC∽△BOC,
=
∴OF=4.8,
∴MN=4.8.
分析:(1)要证明利OB⊥OC,即转化为证明∠BOC=90°,即可,利用切线长定理和平行线的性质:同旁内角互补即可证明;
(2)连接OF,首先证明四边形ONFM是矩形,利用矩形的对角线相等可得:OF=MN,所以求MN的长,即求出OF的长即可.
点评:本题考查了切线长定理、平行线的性质以及矩形的判定和性质、勾股定理的运用和相似三角形的判定和性质,难度较大,综合性较强.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,AB,BC是⊙O的两条弦,AB垂直平分半径OD,∠ABC=75°,BC=4
2
cm,则OC的长为
 
cm.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为
BC
上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,交⊙O于点M,连接MD,ME.
求证:
(1)DE⊥AB;
(2)∠HMD=∠MHE+∠MEH.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm.求BC的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,且AB∥CD,BO=6,CO=8.
(1)判断△OBC的形状,并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求⊙O的半径OF的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,且AB∥CD,连接OB、OC,延长CO交⊙O于点M,精英家教网过点M作MN∥OB交CD于N,OB=6cm,OC=8cm.
(1)求∠BOC的度数及⊙O的半径.
(2)请证明MN是⊙O的切线,并求MN的长.

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