Question

已知关于x的方程

1

4

x²-2

a

x+（a+1）²=0有实根．
（1）求a的值；
（2）若关于x的方程mx²+（2-m）x-a-1=0的所有根均为整数，求整数m的值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）利用根的判别式的符号来求a的值；
（2）利用（1）的结果，将关于x的方程mx²+（1-m）x-a=0转化为方程mx²+（2-m）x-2=0，然后分类讨论：二次项系数的取值分两种情况：当m=0和m≠0时的两种情况．

解答：解：（1）∵关于x的方程

1

4

x²-2

a

x+（a+1）²=0有实根，
∴△=4a-4×

1

4

×（a+1）²≥0，且a≥0，
整理，得
-（a-1）²≥0，
则a-1=0，
解得a=1；

（2）由（1）知，a=1，则由原方程，得
∵mx²+（2-m）x-2=0，
∴（mx+1）（x-2）=0；
①当m≠0时，
∴x₁=-

1

m

，x₂=1，
∴整数m的值为1或-1；
②当m=0时，x=2；
综上所述，整数m的值是0，1，-1．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．