Question

【题目】在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．

（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；

（2）如图2，当α＝45°时，问线段BM、MN、AN之间有何数量关系，并证明；

（3）如图3，当α＝45°时，旋转∠MON，问线段之间BM、MN、AN有何数量关系？并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BM＝AN+MN，理由见解析；（3）MN＝AN+BM．理由见解析.

【解析】

（1）根据题意AB＝AC，∠BAC＝90°，得出是一个等腰直角三角形，再根据三线合一得出OA＝OB＝OC，从而∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，且AO⊥BC，从而得出∠MON＝∠AOC＝90°，再又因为等角的余角相等，所以∠AOM＝∠CON，所以通过证明△AOM≌△CON得出AM＝CN

（2）根据题意，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，先证明△BGO≌△AON，再证明△GMO≌△NMO得出GM＝MN，从而证明出BM＝AN+MN

（3）根据题意，过点O作OG⊥ON，连接AO，先证明△NAO≌△GBO，得到AN＝

GB，GO＝ON，再证明△MON≌△MOG得到MN＝MG，从而进一步证明出MN＝AN+BM

证明：（1）如图1，连接OA，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，

∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，

∴∠MON＝∠AOC＝90°，

∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，

∴△AOM≌△CON（ASA）

∴AM＝CN；

（2）BM＝AN+MN，

理由如下：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，

∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，

∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，

∴△BGO≌△AON（SAS）

∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，

∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，

∴∠AOM+∠BOG＝45°，且∠AOB＝90°，

∴∠MOG＝∠MON＝45°，且MO＝MO，GO＝NO，

∴△GMO≌△NMO（SAS）

∴GM＝MN，

∴BM＝BG+GM＝AN+MN；

（3）MN＝AN+BM，

理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，

∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，

∴∠GBO＝∠NAO＝135°，

∵MO⊥GO，

∴∠NOG＝90°＝∠AOB，

∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，

∴△NAO≌△GBO（ASA）

∴AN＝GB，GO＝ON，

∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，

∴△MON≌△MOG（SAS）

∴MN＝MG，

∵MG＝MB+BG，

∴MN＝AN+BM．