Question

阅读下列材料：
在平面直角坐标系中，若点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），则P₁、P₂两点间的距离为．例如：若
P₁（3，4）、P₂（0，0），则P₁、P₂两点间的距离为．
设⊙O是以原点O为圆心，以1为半径的圆，如果点P（x，y）在⊙O上，那么有等式，即x²+y²=1成立；反过来，如果点P（x，y）的坐标满足等式x²+y²=1，那么点P必在⊙O上，这时，我们就把等式x²+y²=1称为⊙O的方程．
在平面直角坐标系中，若点P₀（x₀，y₀），则P₀到直线y=kx+b的距离为．
请解答下列问题：
（I）写出以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程．
（II）求出原点O到直线的距离．
（III）已知关于x、y的方程组：，其中n≠0，m＞0．
①若n取任意值时，方程组都有两组不相同的实数解，求m的取值范围．
②当m=2时，记两组不相同的实数解分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
求证：是与n无关的常数，并求出这个常数．

Answer 1

解：（I）以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程是：x²+y²=r²；
（II）k=，
则求出原点O到直线的距离是：=1；
（III）①∵1+n²≥2n，则≥≥1，
即直线y=-与y轴的交点的纵坐标一定在（0，1）和（0，-1）之间．
x²+y²=m，表示以原点为圆心，半径是的圆．
∵方程组都有两组不相同的实数解，
∴＞1，
∴m＞1；
②证明：∵表示：两个交点之间的距离，两交点之间的线段就是圆的直径．
∴=2，则与n的值无关．
分析：（I）仿照题意，可列出以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程，表示到原点（0，0）距离是r的点；
（II）由点P₀（x₀，y₀）到直线y=kx+b的距离公式为，代入公式即可求解；
（III）①x2+y2=m，表示以原点为圆心，半径是的圆，表示直线，当直线与y轴的交点到圆心的距离小于圆的半径时，方程组都有两组不相同的实数解，由此求m的取值范围；
②表示：两个交点之间的距离，两交点之间的线段就是圆的直径，据此即可判断．
点评：本题是阅读理解的问题，关键是理解题目叙述的意义，能从图形的观点认识方程，方程组，考查了数形结合的思想方法．