Question

已知经过（-3，5），（-1，-3），（0，-4）三点的抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），顶点为C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求点A、B的坐标及直线CB的解析式；
（3）设点P（a，0）为x轴上一动点，那么以P点为圆心，2为半径的⊙P与直线CB有哪几种位置关系？并求出相应位置关系时a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知的抛物线上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出A、B的坐标，然后用待定系数法可求出直线BC的解析式．
（3）直线与圆的位置关系无非是相切、相交、相离这三种情况，本题中，只需求出圆P与直线BC相切时P点的坐标即可．然后根据此时a的值，即可判断出圆与直线的三种位置关系中a的取值范围．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由题意，
得：

9a-3b+c=5 a-b+c=-3 c=-4

，
解得

a=1 b=0 c=-4

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4．

（2）由（1）的抛物线可知：当y=0时，x²-4=0，
解得x=2，x=-2
∵A点在B点的左边
∴A（-2，0），B（2，0）．
设直线BC的解析式为y=kx-4，已知直线过B（2，0），则有：
2k-4=0，k=2
∴直线BC的解析式为y=2x-4．

（3）当a＜2-

5

或a＞2+

5

时，⊙P与直线BC相离；
当a=2±

5

时，⊙P与直线BC相切；
当2-

5

＜a＜2+

5

时，⊙P与直线BC相交．

点评：本题主要考查二次函数和一次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系等知识．