Question

已知，如图，一条抛物线的对称轴是直线x=，经过点（1，-3）、（3，-2），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．D、E分别是边AC、BC上的两个动点（不与A、B重合），且保持DE∥AB．以DE为边向上作正方形DEFG．
（1）求二次函数的解析式．
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）当正方形的边GF在AB边上时，求正方形DEFG的边长．
（4）当D、E在运动过程中，正方形DEFG的边长能否与△ABC的外接圆相切？若相切，求出DE的长；若不能，则说明理由．

Answer 1

解：（1）设二次函数解析式为y=a（x-）²+k，
经过（1，-3），（3，-2），得
a=，k=-，
∴二次函数解析式为y=（x-）²-；

（2）解得A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∵∠AOC=∠BOC=90°，
==，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠ABC，
∴∠ACO+∠BCO=∠ABC+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形；（另外解法也给分）

（3）当GF在AB上时，DE交OC于M．设正方形的边长为x．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴=，=，
∴x=，
答：正方形的边长为；

（4）能相切．
设△ABC外接圆圆心为N，切点为H．DE为y，△ABC的外接圆半径为2.5，
∴OM=y-2.5，CM=2-（y-2.5）=4.5-y，
∵=，=，
∴y=．
答：正方形DEFG的边长能与△ABC的外接圆相切，DE为．
分析：（1）根据抛物线的对称轴设出二次函数的顶点式，再根据此抛物线经过点（1，-3）、（3，-2）即可得出此函数的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式可得出A、B、C三点的坐标，可得出△AOC∽△COB，再根据相似三角形的性质即可得出结论；
（3）设△ABC外接圆圆心为N，切点为H．DE为y，△ABC的外接圆半径为2.5，再根据=即可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到正方形的性质、三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．