Question

【题目】如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙O，⊙O与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延长CO交斜边AB于点G.

(1)求⊙O的半径长；

(2)求线段DG的长．

Answer 1

【答案】(1) 1；(2)

【解析】

（1）由勾股定理求AB，设⊙O的半径为r，则r=（AC+BC-AB）求解；

（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，根据CG平分直角∠ACB可知△PCG为等腰直角三角形，设PG=PC=x，则CG=x，由（1）可知CO=r=，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用相似比求x，由OG=CG-CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．

试题解析：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5，

∴☉O的半径r=(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1；

(2)过G作GP⊥AC，垂足为P，设GP=x，

由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，

∴GP=PC=x，

∵Rt△AGP∽Rt△ABC，

∴=，解得x=，

即GP=，CG=，

∴OG=CG-CO=-=，

在Rt△ODG中，DG==.