Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2
（1）证明：不论a取何值，抛物线y=x²+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；
（2）设抛物线y=x²+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证明：不论a取何值，抛物线y=x²+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方，只要证明抛物线与x轴，有两个不同的交点，即证明x²+ax+a-2=0有两个不同的解．即判别式大于0即可．
（2）Q是抛物线的顶点，C、D的横坐标相同，因而C、D一定关于对称轴对称，因而△CDQ一定是等腰三角形．如果三角形是等边三角形，则Q作QP⊥CD，垂足为P，则需QP=

3

2

CD，CD、QP的长度都可以用a表示出来，因而就可以得到一个关于a的方程，就可以求出a的值．

解答：证明：（1）：∵判别式△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．
又∵抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点在x轴下方．
或由二次函数解析式得：y=（x+

a

2

）²-

1

4

a²+a-2．
∵抛物线的顶点坐标-

1

4

a²+a-2=-[

1

4

（a-2）²+1]＜0，
当a取任何实数时总成立．
∴不论a取任何值，抛物线的顶点总在x轴下方．
（2）由条件得：抛物线顶点Q（-

a

2

，-

1

4

a²+a-2），点C（0，a-2），当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线交于另一个点D，此时CD=|-a|，点Q到CD的距离为|（a-2）-（-

1

4

a²+a-2）|=

1

4

a²，自Q作QP⊥CD，垂足为P，要使△QCD为等边三角形，则需QP=

3

2

CD，
即

1

4

a²=

3

2

|-a|，
∵a≠0，
∴解得a=±2

3

，（或由CD=CQ，或由CP=

1

2

，CQ等求得a的值），
∴△QCD可以是等边△，
此时对应的二次函数解析式为y=x²+2

3

x+2

3

-2或y=x²-2

3

x-2

3

-2．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不同的解．