Question

已知在平面直角坐标系中，点C（0，2），D（3，4），在x轴正半轴上有一点A，且它到原点的距离为1．
（1）求过点C、A、D的抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一个交点为B，求四边形CABD的面积；
（3）把（1）中的抛物线先向左平移一个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点？

Answer 1

【答案】分析：（1）先设抛物线的解析式，然后将对应的三个点的值代入其中得出常数项的值，即可得到抛物线解析式；
（2）当函数值为0时，可得到抛物线与x轴的两个交点的坐标，故可求出AB的长度，过点D作x轴的垂线，用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得四边形CABD的面积；
（3）先写出向左平移一个单位的抛物线解析式，再设向上或向下平移k个单位的解析式，将其与直线AD的解析式组成一个方程组，解此方程组可得k的值，即再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点．
解答：解：（1）根据题意可知A的坐标为（1，0），
设过C、A、D三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0），
∵C（0，2），A（1，0），D（3，4），
∴，
解得，
故过C、A、D三点的抛物线的解析式为：；

（2）∵点B为抛物线与x轴的另一个交点，令y=0，
则，
∴，
∴点B的坐标为，
作DE⊥x轴于点E，
∴S_{四边形CABD}=S_梯形OEDC-S_△AOC-S_△BDE=5；

（3）把抛物线，
即，
向左平移一个单位得到的抛物线的解析式为：，
即，
设抛物线向上或向下平移|k|个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点，
则向上或向下平移|k|个单位抛物线的解析式为：，
设过A、D两点的解析式为y=ax+b，
∵A（1，0），D（3，4），
代入上式得，
解得，
∴直线AD的解析式为：y=2x-2，
得，
∴4x²-8x+3k+6=0，
∴△=64-16（3k+6）=0，
解得，k=-，
即抛物线向下平移个单位，与直线AD只有一个交点．
点评：本题主要考查二次函数的综合运用，其中涉及四边形的面积，三角形的面积及抛物线的平移．