Question

如图，正比例函数y=

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，点B为反比例函数在第三象限图象上的点，过B点作x轴的垂线，垂足为N，求证：△OAM≌△OBN．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数的比例系数的几何意义可以求得反比例函数的解析式；
（2）两函数的解析式联立组成方程组即可求得点A的坐标，进而得到ON=OM=2，NB=AM=1，∠B N O=∠AMO=90°，然后可以得到△OAM≌△OBN．

解答：（1）解：设A点的坐标为（a，b），则b=

k

a

．∴ab=k．
∵

1

2

ab=1，
∴

1

2

k=1．
∴k=2．
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

…（5分）

（2）证明：由

y= 2 x y= 1 2 x

得

x=2 y=1.

∴A为（2，1）．
由反比例函数的中心对称性可得B（-2，-1），
得到ON=OM=2，NB=AM=1，∠BNO=∠AMO=90度，
∴△OAM≌△OBN           …（5分）

点评：本题考查了反比例函数的几何意义及反比例函数与一次函数的交点问题，综合性较强．