Question

2．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC内一点，且满足PA²+PB²=PC²．
（1）求证：∠APB=150°．
（2）当PB：PA：PC=1：$\sqrt{3}$：2时，求证：∠APC=90°．
（3）在（2）的条件下，求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析 （1）先作出辅助线，得出∠BPD=60°，PD=PB，再用勾股定理的逆定理得出△APD是直角三角形，即可求出∠APB=150°；
（2）先由三边的比，得出∠PAD=30°，进而得出∠BAD+∠BAP=30°，旋转的性质得出∠BAP+∠BCP=30°，再利用边三角形的内角和得出∠BAC+∠ACB=60°+60°=120°，即可得出∠PAC+∠PCA=90°，即可；
（3）先判断出∠ABP=∠BAD，即AD∥PB，从而得出$\frac{PB}{AD}=\frac{PE}{DE}$，即可得出DE=2PE，设出PE=x，进而表示出PB=3x，PC=2PB=6x，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，AF=5x，求出tan∠BAD即可．

解答 解：（1）如图1，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDA，连接PD，
∴△BDP是等边三角形，PC=AD，
∴∠BPD=60°，PB=PD，
∵PA²+PB²=PC²
∴PA²+PD²=AD²，
∴△APD是直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=90°+60°=150°，
（2）由（1）知，∠APD=90°，
∵PB：PA：PC=1：$\sqrt{3}$：2，
∴∠PAD=30°，
∴∠BAD+∠BAP=30°，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDA，连接PD
∴∠BCP=∠BAD，
∴∠BAP+∠BCP=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠PAB+∠BAP+∠PCA+∠BCP=120°，
∴∠PAC+∠PCA=90°，
∴∠APC=90°，
（3）如图2，由（1）知，PC=AD，PB=PD，
由（1）知，∠APB=150°，
∴∠ABP+∠BAP=30°，
由（2）知，∠BAD+∠BAP=30°，
∴∠ABP=∠BAD，
∴PB∥AD，
∴$\frac{PB}{AD}=\frac{PE}{DE}$，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{PE}{DE}$，
∵PB：PA：PC=1：$\sqrt{3}$：2，
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{1}{2}$，
设PE=x，则DE=2x，
∴PB=PD=PE+DE=3x，PC=2PB=6x，
由（2）知，∠ADP=60°，
在Rt△DEF中，DF=$\frac{1}{2}$DE=x，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AF=AD-DF=PC-DF=6x-x=5x，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{5x}$=$\frac{\sqrt{3}}{10}$，
由（2）知，∠PCB=∠EAF，
∴tan∠PCB=$\frac{\sqrt{3}}{10}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，锐角三角函数，含30°的直角三角形的性质，作出辅助线是解本题的关键，也是解本题的难点．