Question

15．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）交于点D，点C在x轴上，连接CB，BO=3CO且AB=3DB，线段OA，OC（OA＞OC）的长是一元二次方程x²-4x+3=0的两根．
（1）求点B的坐标；
（2）求双曲线y=$\frac{k}{x}$的函数解析式；
（3）在第一象限内，是否存在一点P，使△BPO与△BCO相似（不包括全等），若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出方程的根，求出线段OA、OC、OB的长即可解决问题．
（2）求出BD的长，即可求出点D坐标，由此即可解决问题．
（3）利用相似三角形的判定方法分别利用①当△BOC∽△P₁BO时，②当△BOC∽△BP₂O时，③当△BOC∽△OP₃B时，求出答案．

解答 解：（1）∵x²-4x+3=0，解得x=1或3，
由题意，BO=3CO，线段OA，OC（OA＞OC）的长是一元二次方程x²-4x+3=0的两根，
∴OC=1，OA=OB=3，
∴B（0，3）．

（2）∵AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AB=3BD，
∴BD=$\sqrt{2}$，
∴点D坐标（-1，4），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）经过点D，
∴k=-4，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{4}{x}$．

（3）（3）如图2所示：过点B作BP₂⊥OP₁，过点P₂作EF∥OB，
当△BOC∽△P₁BO时，
则$\frac{CO}{BO}$=$\frac{BO}{B{P}_{1}}$，
故$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{B{P}_{1}}$，
解得：BP₁=9，
故P₁（9，3）；
当△BOC∽△BP₂O时，
则$\frac{CO}{O{P}_{2}}$=$\frac{BC}{BO}$，
∵CO=1，BO=3，
∴BC=$\sqrt{10}$，
故$\frac{1}{O{P}_{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
解得：OP₂=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
可得△OAP₂∽△BOC，
则$\frac{{P}_{2}F}{CO}$=$\frac{FO}{BO}$=$\frac{O{P}_{2}}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
解得：FO=$\frac{9}{10}$，P₂F=$\frac{3}{10}$
故P₂（$\frac{9}{10}$，$\frac{3}{10}$），
当△BOC∽△OP₃B时，
同理可得：P₃（$\frac{9}{10}$，$\frac{27}{10}$），．
综上所述：使△BPO与△BCO相似（不包括全等），点P的坐标为：P₁（9，3），P₂（$\frac{9}{10}$，$\frac{3}{10}$），P₃（$\frac{9}{10}$，$\frac{27}{10}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求反比例函数解析式等知识，利用分类讨论、数形结合得出符合题意的P点坐标是解题关键．