Question

如下图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，DE∥AB，交AC于D，交BC于E，CF⊥DE于F，DE在△ABC内作平行运动，问DE为何值时，△ADE的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　简解：延长CF交AB于H．

　　易求得AB＝5，CH＝．

　　设FH＝x，则CF＝－x．

　　∵DE∥AB．

　　∴＝

　　∴DE＝5－x．

　　又设△ADE的面积为y，于是

　　y＝DE·FH＝(5－x)·x

　　＝－x²＋x

　　＝－(x－)²＋(0＜x＜)．

　　∴当x＝，即DE＝时，△ADE的面积最大，最大值为．

　　分析：DE作为△ADE的底，延长CF交AB于H，可得到△ADE的高FH，通过设未知数建立等式向函数转化．

　　简评：几何问题向函数转化，函数的最大值发挥了决定的作用．

　　综上，解决几何最值问题，可直接考虑应用几何中的公里、定理，如线段最短公里、垂线段最短、角的不等关系等；或考虑取线段、点的极端位置，然后通过计算求最值；或把几何问题代数比，向方程、不等式、函数转化，用代数法求最值．解题时要根据题目特点具体分析，灵活掌握．