Question

已知圆外切正六边形周长为4

3

cm，求圆内接正方形的边长．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：如图1，作辅助线，根据切线的性质，结合正多边形的性质求出圆的半径；如图2，作辅助线，根据圆和正方形的性质求出正方形的边长，即可解决问题．

解答：解：如图1，AB为⊙O的外切正六边形的一边，
则AB=

1

6

×4

3

=

2 3

3

；∠AOB=

1

6

×360°=60°；
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=

2 3

3

；
连接OC，则OC⊥AB；
∵sin60°=

OC

OA

，
∴OC=

3

2

×

2 3

3

=1，
即⊙O的半径为1；
如题2，四边形MNPQ为⊙O的内接正方形，
连接MP、QN；
则OM⊥ON，且OM=ON=1，
由勾股定理得：MN²=1²+1²，
∴MN=

2

，
即⊙O的内接正方形的边长为

2

．

点评：该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对求解运算能力提出了一定的要求．