Question

如图N4­9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t(单位：秒)．

(1)当MN∥AB时，求t的值；

(2)试探究：当t为何值时，△MNC为等腰三角形．

图N4­9

Answer 1

解：(1)由题意知，当M，N运动到t秒时，如图107，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．

图107

∵AB∥DE，AB∥MN，∴DE∥MN.

∴＝.

∴＝.解得t＝.

(2)分三种情况讨论：

①当MN＝NC时，如图108，作NF⊥BC交BC于F，则有MC＝2FC，

FC＝MC＝(10－2t)＝5－t，cosC＝＝.

又∵cosC＝＝.∴＝.

解得t＝.

   

图108                  　图109

②当MN＝MC时，如图109，过M作ME⊥CD于E.

则CE＝CN＝.

∵∠C＝∠C，∠MEN＝∠DHC，

∴△DHC∽△MEC.

∴＝，即解得t＝.

③当MC＝CN时，

则10－2t＝t，解得t＝.

综上所述，当t＝、或时，△MNC为等腰三角形．