Question

12．如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点（点C在∠AOD内部），AD与BC交于点E，AD与OC交于点F．
（1）求∠CED的度数；
（2）若C是弧$\widehat{AD}$的中点，求AF：ED的值；
（3）若AF=2，DE=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠CED=∠ACE+∠CAE，求出∠ACE、∠CAE即可解决问题．
（2）利用垂径定理，直角三角形30度角性质，推出AF=3EF，DE=2EF，即可解决问题．
（3）连接CD，过点F作AC的垂线，垂足为H．设CE=x，则AC=$\sqrt{3}$x，AE=2x，EF=2x-2，由△CFE∽△DFC，推出$\frac{FC}{FE}$=$\frac{FD}{FC}$，得FC²=EF•DF=（2x-2）（2x+2）=4x²-4，在Rt△FCH中，根据CH²+FH²=CE²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠COD=60°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，
∴∠CED=∠ACE+∠CAD=90°+30°=120°，

（2）∵C是$\widehat{AD}$中点，OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=FD，
∴∠ECF=∠EAC=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$EC，CE=$\frac{1}{2}$AE，
∴AF=DF=3EF，DE=2EF，
∴AF：ED=3：2．

（3）连接CD，过点F作AC的垂线，垂足为H．设CE=x，则AC=$\sqrt{3}$x，AE=2x，EF=2x-2，
在Rt△AFH中，∠HAF=30°，AF=2，
∴FH=1，AH=$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，
∵∠FCE=∠OBC=∠CDF，∠CFE=∠DFC，
∴△CFE∽△DFC，
∴$\frac{FC}{FE}$=$\frac{FD}{FC}$，
∴FC²=EF•DF=（2x-2）（2x+2）=4x²-4，
在Rt△FCH中，∵CH²+FH²=CF²，
∴（$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$）²+1²=4x²-4，
∴x²+6x-8=0，
解得x=$\sqrt{17}$-3或-$\sqrt{17}$-3（舍弃），
∴EF=2x-2=2$\sqrt{17}$-8．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、新三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．