Question

如图，抛物线y=x²+ax+b与x轴交A（-1，0），B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并写出此时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入二次函数的解析式，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得C的坐标，利用待定系数法求得AC的解析式，然后设P的横坐标是m，表示出P和E的纵坐标，则PE即可利用m表示出来，利用二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）根据题意得：

1-a+b=0 9+3a+b=0

，
解得：

a=-2 b=-3

．
则抛物线解析式是：y=x²-2x-3．
（2）在y=x²-2x-3中令x=2，得：y=-3．
则C的坐标是（2，-3）．
设直线AC的解析式是：y=kx+c．
则

-k+c=0 2k+c=-3

，
解得：

k=-1 c=-1

．
则直线AC的解析式是：y=-x-1．
设P的横坐标是m，则P的纵坐标是-m-1，E的纵坐标是m²-2m-3．
则PE=（-m-1）-（m²-2m-3）=-m²+m+2=-（m-

1

2

）²+

9

4

．
则当m=

1

2

时，PE的最大值是

9

4

．
此时P的坐标是（

1

2

，-

3

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，正确表示出PE的长度是关键．