Question

如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作：
第一次操作：依次连接这个三角形三边的中点，构成四个三角形，挖去中间一个三角形，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；
第二次操作：分别连接剩余的3个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“2”；
第三次操作：分别连接剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；如此下去．
（1）第三次操作要用______张数字标签“3”；
（2）求第六次操作后挖去的所有三角形的个数和；
（3）如果一直操作下去，挖去的所有三角形的面积和将怎样变化？

Answer 1

解：（1）观察图形发现：第三次操作要用9张数字标签“3”；
（2）第一次操作后挖去1个三角形，
第二次操作后共挖去1+3=4个三角形，
第三次操作共挖去1+3+3²=13个三角形；
第四次操作共挖去1+3+3²+3³=40个，
…
第六次操作后共挖去1+3+3²+3³+3⁴+3⁵=364个三角形．

（3）如果一直操作下去，挖去的所有三角形的面积和将越来越接近1．
分析：（1）观察图形直接回答即可；
（2）用穷举法一一列举出来即可；
（3）最后面积和越来越接近1；
点评：本题考查了图形的变化类问题，发现图形的变化规律是解决此类问题的关键．