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    已知，如图，直角坐标系中的等腰梯形ABCD，AB∥CD，下底AB在x轴上，D在y轴上，M为AD的中点，过O作腰BC的垂线交BC于点E．
    （1）求证：OM⊥OE；
    （2）若等腰梯形中AD所在的直线的解析式为，且，求过等腰梯形ABCD的三个顶点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
    （3）若点M在梯形ABCD内沿水平方向移动到N，且使四边形MNCD为平行四边形，抛物线上是否存在一点P，使S△PAB与四边形MNCD的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）已知OE⊥BC，则∠OBE+∠BOE=90°，欲求OM⊥OE，即∠MOA+∠BOE=90°，就必须先证得∠MOA=∠OBE，在Rt△OAD中，M是斜边AD的中点，则OM=AM，得∠OAM=∠MOA，而等腰梯形ABCD的两底角∠OAM=∠OBE，通过等量代换即可证得∠MOA=∠OBE，由此得证．
    （2）根据直线AD的解析式，可求得点A、D的坐标，即可得到OA、OD的长，已知了DC、AB的比例关系，结合等腰梯形的对称性即可求得AB、CD的长，从而得到C、B的坐标，可根据A、B、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后再代入C点坐标进行验证即可．
    （3）根据A、D的坐标，易得线段AD中点M的坐标；以DC为底，D、M纵坐标差的绝对值为高，可求得平行四边形MNCD的面积，即可得到△PAB的面积；在△ABP中，底边AB为定长，根据已求得的三角形面积，可得到P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得点P的坐标，需注意的是P点纵坐标有正、负两种情况，需要分类讨论．
    解答：解：（1）∠A=∠B；
    因为M为直角三角形AOD的斜边中点，
    所以OM=MA，
    则∠A=∠MOA，
    所以∠MOA=∠B；
    又因为OE⊥BC，
    所以∠B+∠BOE=90°，
    所以∠MOA+∠BOE=90°，则OM⊥OE．

    （2）可以求得D（0，4），A（-3，0）；
    所以OA=3，OD=4，AB=8，DC=2，
    所以B（5，0）、C（2，4）；
    设过A、B、D的抛物线为y=a（x+3）（x-5），
    将点D的坐标代入，求出a=，
    即y=-（x+3）（x-5），
    验证点C也在此抛物线上，所以所求的抛物线为y=-（x+3）（x-5）．

    （3）可以求出N（0.5，2），所以平行四边形MNCD的面积为4；
    设P（m，n），又AB=8，
    所以，则|n|=1，所以n=±1；
    当n=1时，1=-（x+3）（x-5），所以x=-或；
    当n=-1时，-1=-（x+3）（x-5），所以x=；
    因此这样的点P有四个，分别为（-，1）、（，1）、（，-1）、（，-1）．
    点评：此题考查的知识点有：直角三角形、等腰梯形的性质，抛物线解析式的确定，图形面积的求法等．要注意的是（3）题中，根据△ABP的面积求得的点P纵坐标应有正、负两种情况，不要漏解．
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    （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
    （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
    （3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
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    （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
    （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
    （3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

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