Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，求：
（1）△ACE和△ABD的面积之比；
（2）△AED面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）如图1，作AG⊥BC于G，就可以表示出S_△ACE=

CE•AG

2

=2AG，S_△ABD=

BD•AG

2

=

3AG

2

，进而就可以求出结论；
（2）如图2，绕点A将△ABD逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF，作AG⊥BC于G，就可以得到△ABD≌△ACF，就可以得到BD=CF，∠ACF=45°，进而得出△ECF是直角三角形，由勾股定理就可以求出EF的值，再证明△ADE≌△AFE就可以得出DE=FE，就可以得出BC的值，就可以求出AG的值，从而得出结论．

解答：解：（1）作AG⊥BC于G，
∴∠AGC=∠AGB=90°．
∵S_△ACE=

CE•AG

2

，S_△ABD=

BD•AG

2

，
∴S_△ACE=2AG，S_△ABD=

3AG

2

，
∴

S△ACE

S△ABD

=

2AG

3 2 AG

=

4

3

．
答：△ACE和△ABD的面积之比为

4

3

；
（2）如图2，绕点A将△ABD逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF，作AG⊥BC于G，
由旋转得：△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，∠ACF=∠B，∠CAF=∠BAD．
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°．
∴∠ACF+∠ACB=90°，
即∠FCE=90°．
∴EF²=CF²+CE²．
∴EF²=9+16，
∴EF=5．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠CAF+∠CAE=45°，
即∠FAE=45°．
∴∠FAE=∠DAE．
在△ADE和△AFE中

AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE

，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=EF=5，
∴BC=3+4+5=12．
∵AG⊥BC，
∴AG=

1

2

BC=6，
∴S_△DAE=

5×6

2

=15．
答：△AED的面积为15．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．