Question

8．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=40°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，PM+PN的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$+1
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$+1
• D． 5

Answer 1

分析 作点N关于AB的对称点C，连接MC交AB于点P，则P点就是所求作的点，求出∠COM=120°，进而求出CM的长，CM的长度即PM+PN的最小值．

解答 解：作点N关于AB的对称点C，连接MC交AB于点P，则P点就是所求作的点．
此时PM+PN最小，且等于MC的长．
连接OM，OC，
∵∠MAB=40°，
∴∠MOB=80°，
∴$\widehat{BM}$的度数是80°，
则$\widehat{NB}$的度数是40°，
根据垂径定理得$\widehat{CB}$的度数是40°，
则∠NOC=120°，
∵AB=8
∴OM=OC=4，
∴∠OAM=∠OMC=30°，
∴MC=4$\sqrt{3}$．
∴PM+PN的最小值为4$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键．